Sudoku, ¿Cuadrado mágico o latino?

Siempre que se habla del Sudoku, dicen los que saben -y saben mucho- que se trata de un cuadrado latino; e inmediatamente te refieren a los cuadrados mágicos. Y a la tortuga que salió del río hace como cinco mil años, con un cuadrado mágico -cifrado, no creas que con números-, en el caparazón. 

Y aquí empieza lo sorprendente. La inquietud del ser humano por los números. Por descifrarlos, combinarlos, separarlos, ordenarlos; jugar con ellos, intentar dominarlos, usarlos. 

Todas las grandes culturas de la humanidad tuvieron en su tiempo cuadrados mágicos. Y a partir de allí, parece que todos los matemáticos, y no sólo ellos, tuvieron interés por este tipo de reto. Aunque no todo se puede encontrar documentado, hay suficientes evidencias que nos indican que también ha sido importante, al crear estos cuadrados, hacerlo con números consecutivos, con números cuadrados, acomodarlos según cierto orden, restricción (que no se repitan) o condición (que sumen alguna cantidad), etc. Además de determinar la cantidad posible de combinaciones según su orden: 3, 4, 6, 9 (ésta es la del Sudoku), y la necesidad de demostrar lo acertado de esos cálculos.

Sin entrar en muchos detalles, veamos algunos casos:
El primer cuadrado mágico: hacia 2,800 a.C., aparece en China la leyenda de Lo Shu. Una especie de cuadrícula cuadrada de 3x3 formada por las placas del caparazón en las que la suma de cada línea (vertical, horizontal o diagonal), da el número 15. (El dios del río inundó la región hasta que interpretaron los signos y le hicieron "quince" ofrendas). 

8 1 6

3 5 7

4 9 2

Este caso aparentemente fue enviado por los dioses, como el fuego a los griegos, por lo que no ha de tener mucho mérito su creación.

Ahora veamos el de Alberto Durero, de 4x4. Está dentro de uno de los grabados en cobre de este extraordinario artista del renacimiento: Melancolía I  (Actualmente en la Galería Nacional de Arte en Washington, Colección Rosenwald). 

16     3      2   13

  5   10     11    8

  9     6      7   12

  4   15    14     1

En este cuadrado mágico, Durero logra que la suma sea 34 tanto en filas, columnas y diagonales principales; pero también sumando las cuatro esquinas, o los cuatro números del centro del cuadrado, o, -descontando las esquinas-, las laterales opuestas que rodean al cuadrado del centro.  La fecha en que realizó esta obra, también está dentro del cuadrado: 1514 d.C. Algo que no se percibe tan fácilmente es la relación del número 136 (la suma de todos los números dentro del cuadrado), con el nombre del Autor, y el nombre de la obra. Al sustituir las letras de los nombres por los números que corresponderían en el alfabeto latino -el nombre de él- y en el alfabeto alemán -el nombre de la obra-, cada uno suma 136. Melancolía I

Imposible nombrar a todos los que han realizado aportaciones, como Simón de la Loubere que publica un método para construir cuadrados mágicos en 1690 o como Bernard Frenicle de Bessy que, tres años después, enumera todos los 880 cuadrados mágicos de 4x4 posibles. O como a Benjamín Franklin quien tenía como pasatiempo elaborar cuadrados mágicos bastante enigmáticos en cuanto a su dificultad para crearlos.
Voy a concluir mencionando dos ejemplos donde estos cuadrados no usan números. En ambos casos, al ser una combinación de dos cuadrados latinos, podrían también llamarse grecolatinos. Y por la forma de corresponderse uno a uno, ortogonales.

El primero.- En 1725, el matemático francés Jacques Ozanam, propone un rompecabezas con cartas de la baraja: 

"Colocar los reyes, reinas, jotas y ases de una baraja, formando un cuadrado de 4x4 tal, que cada fila y cada columna contengan una vez y solo una vez, cada una de las figuras y cada uno de los palos." Como se puede apreciar es una combinación de dos cuadrados mágicos (un par) de orden 4. Existen un total de 1152 soluciones a este problema, aunque todos se pueden reducir a dos soluciones básicas.  solución a y solución b .

El segundo.- Un problema parecido, que si tuviera solución sería par de cuadrado latino ortogonal de orden 6, lo planteó uno de los más grandes matemáticos que han existido: Leonhard Euler. Él transformó el cuadrado mágico en cuadrado latino y cuadrado grecolatino, pues usó como símbolos para estudiar los cuadrados las letras del abecedario latino, en uno y en el otro combinó alfabeto griego y latino. Dejó más de 800 tratados sobre las diversas áreas que estudió: Matemáticas, Astronomía, Física, Lógica, Arquitectura e Ingeniería entre otras. El siguiente es el primer párrafo del texto "Investigaciones sobre un nuevo tipo de cuadrados mágicos", que Euler envió a la Academia de San Petersburgo en 1779, y es conocido como "El problema de los treinta y seis oficiales de Euler".

"Una cuestión muy curiosa que ha desafiado la inteligencia de muchas personas, me inspiró para emprender la siguiente investigación que al parecer ha abierto una nueva trayectoria dentro del Análisis y, en particular,  en Combinatoria. Esta cuestión concierne a un grupo de treinta y seis oficiales de seis rangos diferentes, tomados de seis regimientos distintos, y distribuidos en un cuadrado de tal forma que en cada fila y cada columna haya seis oficiales, cada uno de diferente rango y regimiento. Pero después de dedicar muchos esfuerzos a resolver este problema, tenemos que reconocer que tal disposición es absolutamente imposible, aunque no podemos ofrecer una prueba rigurosa."

Esta certeza de "absolutamente imposible" aunque sin poder demostrar la imposibilidad, llevó a Euler a aventurar la conjetura de que no había ningún par de cuadrados latinos ortogonales de orden 6, 10, 14 18, 22... Poco más de cien años después, Gaston Tarry verifica la conjetura de Euler en el primer caso, el de orden 6. Y dan por hecho que los demás casos son también imposibles. En 1960, tres matemáticos, trabajando conjuntamente, demostrarían que sí había pares de cuadrados latinos ortogonales, el único caso en el que no existen es en el de orden 6. 

Euler tenía razón, pero no tenía computadora... cuadrados latinos