Trillones y trillones de Sudokus diferentes y sudokus equivalentes

¿Cuántos sudokus diferentes existen? 

Es una pregunta aparentemente simple que interesa a científicos, matemáticos, lógicos, y a expertos en informática y computación, tal vez por el reto que implica definir este problema. Y parece que la teoría combinatoria puede aportar alguna respuesta. Pues es precisamente lo que intenta: contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma. (Ian Anderson).

En el caso del sudoku, cuántas combinaciones diferentes se obtienen de acomodar los números del 1 al 9 en una rejilla de 9X9 (cuadrado de 9 filas y 9 columnas) sin que se repitan los dígitos ni en fila, columna o región.

Antes de responder: ¡trillones! o ¡miles de trillones! o cualquier cantidad que se nos ocurra, hay que hacer varias aclaraciones:

Primero, el sudoku incompleto -el pasatiempo que parte de una rejilla resuelta, con un mínimo de 17 pistas, simetría, rotación y una solución única-, no forma parte del cálculo. Se estiman únicamente las rejillas completas, los posibles sudokus terminados.

Segundo, los "sudokus equivalentes" deben descontarse del total obtenido, según algunos investigadores. No son iguales, no exactamente. Pero tampoco son diferentes.

Recordando que el sudoku es un subconjunto del cuadrado latino, encontramos relación de equivalencia entre dos "sudokus" si uno de ellos puede ser obtenido permutando las filas (1 a 3; 4 a 6; 7 a 9), o las columnas (1 a 3; 4 a 6; 7 a 9) o permutando los dígitos (1, 2, 3..., 9).

Tercero, también se deben descontar los sudokus equivalentes que se forman por operaciones de simetría como rotación (0°, 90°, 180°, 270°) y reflexión (la imagen reflejada en el espejo).

   

Sudoku conjugado con rotación de 90°

Si giráramos el sudoku 90° (o 180°, o 270°) en el sentido de las manecillas del reloj, veríamos que las filas pasan a ser columnas y viceversa, pero la relación entre los números se mantiene, igual que las diagonales ¡Aunque paremos el sudoku de cabeza! Lo mismo ocurriría en la imagen del espejo. La estructura, en este caso, no el aparente acomodo, es la misma. 

Sudoku para permutar columnas 

En este caso, en que las tres columnas dentro de cada caja pueden cambiar de lugar, vemos que hay 6 posibles acomodos por región de 3X9, pero, al igual que en el sudoku para filas, las relaciones de equivalencia se mantienen incluso las opciones de candidatos ¡siguen igual en las casillas vacías!

Sudoku para permutar filas

Estos sudokus equivalentes también podemos rotarlos y reflejarlos y, por tanto, también descartarlos.

Las estimaciones hechas por Bertram Felgenhauer (Technical University of Dresden, Germany) y Frazer Jarvis (University of Sheffield, England) dan alrededor de 6,670 trillones de sudokus. De allí debemos descontar las restricciones de equivalencia por permutaciones, rotación y reflexión y nos quedarían alrededor de 5,472 millones de posibles juegos, según Jean-Paul Delahaye (University of Sciences and Technologies of Lille in France) The Science behind Sudoku.
No creo que conocer la cantidad de sudokus posibles sea tan importante como profundizar en la esencia del sudoku, Si cambio un número, por decir el 9 y lo pongo en el lugar del 3, y el 3 lo permuto por un 5, y el 5 por un 9... ¡Este nuevo sudoku también es equivalente! Porque tiene la misma "naturaleza" -estructura- del que se deriva.
¡Sorprendente!

Backdoor Sudoku contra XY-Wing

Número nudo, backdoor, picaporte, celda mágica, el número que destraba el sudoku.... o que se interpone entre tú y la solución... Lo presientes cuando estás resolviendo un sudoku difícil y requieres de estrategias avanzadas para continuar. Lo percibes esquivo, retador, burlón. Sabes que lo superaste cuando el sudoku vuelve a ser esa cadena melodiosa de sencillos uno a uno... ¿O todo fue producto de tu exasperada lógica? No es una leyenda urbana, sí existe.

En la actualidad se usa el backdoor para determinar el grado de dificultad de un sudoku. La mayoría de los sudoku de nivel difícil tienen uno, los de nivel superior pueden tener dos, tres en el caso del Easter Monster.  

El backdoor puede ser un número -o un conjunto de números- que al ser acomodados en sus celdas correspondientes, conducen a la solución sin ningún tipo de técnica avanzada. Van descubriendo candidatos únicos en cada una de las celdas restantes.

Parece cosa de magia. ¿Será el alma, la esencia, del sudoku? 

Hay quienes afirman que todos los sudoku, incluso los fáciles, tienen al menos uno. Tal vez, aunque en ésos no se siente diferencia al solucionarlos. La computadora los resuelve sin aplicar ninguna estrategia avanzada de ésas de nombres encriptados, o  de constelación: cometa, rascacielos, bolsa de serpientes, xy-wing... 

Nadie sabe -al menos yo no sé- cómo podríamos descubrirlos lógicamente desde el inicio, como no sea por azar. Y en el azar, ya se sabe, no tienes seguro nada, tendrías que llevar el juego hasta el final para saber que acertaste. ¿Habrá una fórmula, más allá de la adivinanza, que asocie celdas y dígitos de manera que revele dónde se ubica el nudo? Lo que se hace para identificar el backdoor es tomar el dígito de la solución y se prueba. Un programa de computadora lo verifica en segundos. Si ese dígito/celda destrabador estuviera como pista, el sudoku sería nivel facilísimo. Vean el ejemplo que pongo a continuación.

Sudoku difícil

Inicia con 27 números dados y, con estrategias básicas -x wing, entre ellas-, podemos completar 26 celdas más. Es decir 53 celdas. 

Técnica xy-wing

En ese punto Simple Sudoku sugiere eliminar candidatos con XY-Wing (las tres celdas azules y el recuadro), que es una técnica algo avanzada (y, hasta el momento, mi reto insuperable). Una vez aplicada esta estrategia, el sudoku no tiene mayor complicación.

Backdoor 5

Pero ¿qué pasa si al inicio agregamos el número 5 en la celda amarilla (fila 4, columna 9)? El número 9 coloreado en rojo sería el primero en ubicarse y después todos los movimientos son por candidatos únicos. Ese 5 en la celda "f4c9" es el backdoor de este sudoku...
Es posible, sí, encontrar por azar, por error, o diversión los backdoor, pero usarlos para resolver el pasatiempo le quita todo el mérito del esfuerzo y de la aplicación de la lógica. Sí es divertido encontrarlos porque, como pueden ver, no está asociado a la estrategia XY-Wing. (Hay otro número, el 6, que sí lo está, pero ése requiere combinarse con otro).
¿Cuál es la naturaleza y que clase de problemas contienen estos "números nudo"? ¿Cómo la intuición humana logra lo que no pueden los algoritmos matemáticos? Estos y otros puntos siguen siendo investigados por expertos, entre otros motivos, para complicarnos más los niveles de sudoku.

Arto Inkala: Sudokus con nombre propio

Hoy también empecé el día intentando comprender un sudoku. Cómo aplicar la estrategia, de nivel medio, XY-Wing. Y sigo en ésas. 

Era uno sencillo, no el Escargot (2006), el Daily Mirror (2010) o el Everest (2012) diseñados por el finlandés Arto Inkala y considerados por él mismo, en cada momento, como "el sudoku más difícil del mundo" -con su palabra, y su propio ranking, basta-. El Everest, asegura Inkala, es insoluble para todos, excepto para las mentes más brillantes. Debe resolverse, dice, anticipando hasta ocho movimientos, como en el ajedrez...

No son los únicos sudokus que encontré en internet que tienen nombre -y registro-. Están también sus rivales: Golden Nugget, por ejemplo, creado por Tarek, y el Eastern Monster de JPF; hay quienes los consideran de mayor dificultad que los tres primeros. En realidad, muchísima gente. Y debe haber más juegos que compitan por esa categoría.

Y es que, decidir cuál sudoku ofrece mayor dificultad, no es fácil. Se supone que son hechos para ser resueltos lógicamente y a mano, por seres humanos pensantes. Pero Inkala -al igual que los otros competidores, exceptuando a Nikoli en donde los hacen a mano-, los elabora con ayuda de computadora, ya que necesita revisar cerca de un millón de sudokus antes de dar con la opción más difícil con 17 números dados. Esto le ha tomado, en algún caso, alrededor de tres meses. Mi artimaña de intentar resolverlos con Simple Sudoku -u otro programa parecido- parece que no es exclusiva mía. Entonces también cuidan ese aspecto: no hay ningún sencillo descubierto, ni oculto; cada celda tiene al menos dos opciones que la computadora registra como posible solución, y la pobre no da una. Allí ni la paciencia le vale... En menos de un segundo decide que no hay pista a seguir. Y se acabó. ¡Sin anotar ni sugerir absolutamente nada...! Porque todavía no están hechas para hacer conjeturas complejas ¡ni trampas! Con quitar un dígito -de los 17 dados- podría obtener múltiples soluciones... jajaja. También podría anotar, al azar, el número que "desata el nudo", cosa humanamente posible pero, ¿cuál sería la probabilidad de seleccionar el dígito correcto -entre 9- y la casilla -entre 64-, al primer intento? (ya casi me siento matemática...). 

Lo interesante es que cada vez que aparece un sudoku "imposible", de nivel superior a 9 u 11 como el Everest -los difíciles de los diarios son nivel 5-, se mejoran los programas solucionadores de sudokus. El sudoku Eastern Monster, por ejemplo, dio origen a que se descubrieran dos técnicas, lógicas, inimaginables antes por no haberse presentado ese reto: Naked Double Loops y Hidden Double Loops. Esto desencadena que los programas que miden el ranking de dificultad también sufran cambios, principalmente el Sudoku Explainer (SE). Los otros cuatro conocidos son Ravel Minimal Step (RMS), Gfsr, Suexrat 9, y el de Inkala. Los investigadores en Inteligencia Artificial también muestran interés en los sudokus.
Y todo esto ya rebasa, creo, las dimensiones de un simple pasatiempo. Haciendo cada vez más interesante el desarrollo de este juego y poniendo de relieve que la pregunta ha dejado de ser ¿todos podemos solucionar un sudoku incompleto? y la respuesta tampoco se limita a un simple "sí" o "no". Hay que ser doctor en Matemáticas y experto en Computación, mínimo.
Y para crearlos... -o investigarlos- necesitas que te lo encargue una compañía como Efamol (sudoku AI6824 para Efamol) que ofrece productos para evitar el deterioro del cerebro, o que te respalden Universidades importantes como la University of Western Australia o la University College Dublin, en Irlanda.

Dos Sudokus atípicos: Impossible Sudoku y Sudoku Mentiroso

¿Qué pasaría si al terminar el sudoku encontraras que no tiene solución?

Después de la cara de what?, el inevitable recuento y las dos-tres interjecciones inadmisibles en voz alta -pero a quién le importa, si estás jugando a solas-, la decisión vergonzosa: borrar y recomenzar cuantas veces sea necesario, porque no es posible dejar un sudoku huérfano, abandonado. ¿Cómo intentar un nuevo juego sin que tu conciencia te lo reproche? Es preferible ¡morir en el intento!

Y ése sería el caso si por casualidad, e inadvertidamente, intentaras solucionar uno de los creados por Paul Mutton, o Emili Besalú Llorà. Ni haciendo trampa puede resolverlos el Simple Sudoku (mi recurso mágico), pues fueron diseñados precisamente para no tener solución. Y hasta publicaron, cada uno, su respectivo libro. ¿Por qué?

Para hacer bromas a los sudoku-adictos, explica Paul Mutton, autor de The Book of Impossible Sudoku (2008) y ver cómo, o cuánto, se esfuerzan por resolverlos, antes de que se den cuenta de que no lo lograrán (yo creo que nunca...). Sugiere que antes de regalar el libro, se le recorte la página que tiene la explicación. Son 100 sudokus aparentemente perfectos, con 24 números iniciales, simétricos y con una solución única. Necesitas avanzar todo el rompecabezas para encontrarte sin salida. El autor asegura que sólo cambió un número, y que procuró preservar la integridad aparente del juego. El ejemplo que incluyo aparece en la portada de su libro. 

Impossible Sudoku de Paul Mutton

Si eres un obsesivo, es decir un verdadero sudoku-adicto, no dejarías las cosas así ¿verdad? Intentarías "arreglar" el sudoku, ver qué anda mal, buscarías identificar la pista falsa y no te detendrías hasta lograr corregirlo. Mutton no lo sugiere, pero ésa es la propuesta de Emili Besalú Llorà. Su libro "Sudoku mentiroso" (2011) advierte desde el principio que son 120 sudokus de apariencia común, pero irresolubles debido a que una pista es falsa. Y el juego, o el reto, consiste en descubrir y cambiar el número intencionalmente erróneo para resolver el sudoku. Si la opción que propones no es correcta el sudoku seguirá sin solución. También incluyo un ejemplo tomado de su libro. Tiene 40 números iniciales y coloreé algunas celdas que en mi solución eran contradictorias, pero no marqué la pista falsa, para no arruinar el juego.

¿Habrá otros sudokus impostores además de estos dos? Sí fuese así, espero que sean tan entretenidos como éstos. 

Sudoku Mentiroso de Emili Besalú Llorà

  Ambos libros se pueden comprar en línea...

Sudoku y Ajedrez (O lo que es lo mismo Maki Kaji y B. Franklin)

Una de las primeras defensas del Sudoku que leí en internet, lo comparaba con el Ajedrez. 

Era una aportación de intención no muy clara, pues sugería "resolver un sudoku sin pensar", cuando se trata precisamente de un juego de lógica. Dos comentarios se centraron en la "computadora" la cual, dijeron, "no necesita cerebro para resolverlo"; "ni tampoco para jugar ajedrez y nadie se atrevería a afirmar que no haga falta el cerebro para jugarlo", fue la inmediata respuesta.

Dejemos de lado la irrebatible verdad de que detrás de cada gran computadora hay un "gran cerebro" que diseñó su algoritmo y quedémonos con la comparación que surgió inmediatamente: "Al ajedrez se juega, bien o mal; el sudoku se resuelve".

La diferencia entre uno y otro, de ser cierta, tal vez no sea importante. Lo interesante para mí es que Benjamín Franklin (1706-1790) está asociado con ambos juegos. 

Anteriormente comenté que Franklin elaboraba un pasatiempo parecido al sudoku actual. Durante una de sus estancias en el Reino Unido desarrolló un cuadrado mágico con la intención de que sus amigos y colegas de la Sociedad Británica de la Ciencia de Londres intentaran averiguar cómo lo había creado. Era tan difícil, que no pudieron resolverlo. 

En cuanto al ajedrez, durante su misión diplomática en París de 1776 a 1785, escribió su ensayo "La moral en el ajedrez" en 1779 y es autor del primer libro de ajedrez en los Estados Unidos de Norteamérica.

Por suerte, o desgracia para el sudoku, tenemos su opinión de ambos pasatiempos...

"El juego del ajedrez no es un mero entretenimiento; son varias las cualidades mentales, de uso en la vida humana, que han de ser adquiridas y pueden ser mejoradas con él. Son hábitos que han de estar presentes en toda ocasión puesto que la vida es como el ajedrez, donde tenemos que ganar puntos y hay competidores y adversarios contra los que luchar. Existen un gran número de eventos buenos y malos que son, en cierto aspecto, el resultado de la prudencia o su búsqueda. De ahí que podamos aprender jugando."

A pesar de que su Cuadrado Mágico "había dejado perplejas a las mentes más agudas del Imperio Británico" como le escribió a un profesor de matemáticas de Harvard, Franklin se quejó más tarde en su diario apuntando que "había perdido el tiempo en una ocupación que no sería de utilidad ni para sí mismo ni para los demás".

Y ambas cosas están escritas... en el siglo XVIII, en plena Ilustración, en el Siglo de las Luces, claro. 

Más de doscientos años después, Maki Kaji, el llamado "padre editorial del sudoku", cuenta que en 1984, en un viaje a Estados Unidos, encontró dos juegos en la revista Dell, llamados Number Place; Eran los únicos que podía entender, no hacía falta leer nada, las instrucciones eran simples y pudo resolverlos observando atentamente los números. Para él la experiencia fue muy placentera, divertida y, gracias al juego, entró en un estado de ánimo contemplativo. Y nos habla también de tener presentes dos principios en el sudoku:

"El primero es el de la atención y de la deducción. La mejor estrategia es no tener estrategia, pero hacerse con una en la práctica, mediante la deducción, y de manera lúdica. Uno debe ser todo el tiempo su propio maestro. La popularidad del sudoku estriba en la infinidad de técnicas personales que cada lector desarrolla. No hace falta tener paciencia. La paciencia debe quedar sometida al interés.  Esto se engarza con el segundo principio, que es el del placer, que se experimenta desde la deducción, para decidir dónde se puede desarrollar cierto tipo de capacidad mental. Nunca instaría a los lectores a que practicaran el sudoku con fines educativos o para desarrollar su habilidad cognitiva. Lo más importante es que el sudoku sea una puerta de entrada al estado de ánimo creativo del ocio, el cual hemos perdido en la sociedad moderna y contemporánea." 

Y continúa diciendo que hay una ideal de cuño taoísta en esto, ya que el ocio es un elemento indispensable de la creatividad y bienestar personales. (¿No sería esto lo que Franklin considera "utilidad personal"?). Finaliza recomendando conseguir un equilibrio entre lo que se resuelve y lo que se deja de resolver: es importante poder tirar la toalla, darse por vencido y reconocerlo conscientemente, para poder acometer con tranquilidad el  siguiente sudoku de forma lúdica y placentera.

 ¿Contradicción o coincidencia -o ambas cosas-, con respecto a la función del juego en general y del sudoku en particular?
Yo voy a seguir jugando Sudoku.

Sudoku de Sodbury, Inglaterra y dos soluciones

Sudoku en Sodbury Inglaterra con 1905 soluciones

La tentación me ganó, debo reconocerlo y me metí en la faena de intentar encontrar una de las casi dos mil soluciones que se dice tiene el Sudoku de la colina de Sodbury, Inglaterra. Y digo faena, porque ha sido un cuento de nunca acabar.

No soy tan hábil como imagino se requiere para lograrlo; pero me sentía súper poderosa con el Simple Sudoku en mi computadora. De esto, aclaro, hace ya varios días. 

Con entusiasmo por mi ingeniosa estrategia, abrí el programa y señalé "crear". Apareció la cuadrícula conocida. Vacié la información, que previamente había obtenido de una fotografía en internet, y di "empezar" al botón correspondiente. 

De inmediato apareció una leyenda, en color rojo, advirtiendo que el juego tenía 1,905 soluciones. (Cosa que ya sabía, por haberla leído en varias notas periodísticas).

Lo primero que pensé fue continuar, confiando en que el programa me guiaría, dándome pistas a seguir, para obtener alguna solución. ¡Pero no! A todos mis esfuerzos respondía invariable -e intransigente, a mi modo de ver-: "No hay pista disponible". 

Después de repetidos intentos por convencerla -picándole con insistencia al ícono de "pista"-, entendí que no era por ahí. No sé cuánto me tardé en discurrir en que tal vez con los candidatos en el tablero podría ver qué camino seguir. Seleccioné en opciones la que yo quería y ¡listo! como si hubiera dado vuelta a la página, apareció un nuevo tablero. Ya no era la cara amigable del Sudoku inglés, sino una amenazadora rejilla saturada de datos.

En este momento observé que tenía un número fácil de acomodar, el del centro del Sudoku; no recuerdo si primero el programa me rechazó ponerlo, pero finalmente logré anotarlo, igual que otros 6 más. Esos siete eran prácticamente números dados, sin ningún mérito para seleccionarlos. De nuevo, la computadora no me permitió agregar números y continuó negándome las pistas. Sólo que ahora yo creía que podía engañarla. Y revivió mi esperanza...

Si no me dejaba poner números directamente, "eliminaría" candidatos. Jejeje. La ingente tarea, más que desalentarme, me divertía. Ni siquiera consideré que mi estrategia no tuviera sentido o fuera inútil. Me puse a borrar numeritos, sin ton ni son, a tontas y locas. Sólo que a veces no era posible. Comencé a indignarme. Sentí esos rechazos como "algo personal". ¿Cómo? ¿por qué unos sí y otros no?

Entonces me di cuenta que la mente maestra -Simple Sudoku-, solamente me rechazaba los dígitos que hacían imposible obtener una solución; pero me permitía quitar candidatos si yo acertaba con números sin posibilidad en esa celda. Eureka: cada candidato imposible de eliminar formaba parte de un sudoku posible. 

Lo que sigue fue muy fácil. Como he dicho, en parte al azar, continué seleccionando numeritos, borraba los que se podían y anotaba los que no. Así llegué a, casi, solucionar el sudoku. Es éste:

Doble solución

Sí, me sentía triunfante. Nada más me faltaban cuatro celdas por llenar, y en las cuatro se repetía el mismo par de números; para mi mala suerte formaban un "patrón de unicidad", lo que quiere decir, Sudoku inválido, tiene "dos" soluciones. Finalmente no le gané a la compu -o al programa-, en este intento. Pero abajo dejo dos sudokus a resolver. Ambos son respuestas al de Sodbury.

Uno es mío. Necesité cambiar datos de la versión de arriba y finalmente lo logré. Quise entonces saber qué números extra debía tener el Sudoku inicial para dar mi solución como única. Tuve que desandar el camino, y agregar seis números a la rejilla original. Pinté sus celdas de color amarillo. Las celdas verdes son las del Sudoku de Sodbury; los siete números que están en celdas sin colorear, son los que se obtienen fácilmente.

Sudoku Sodbury para llegar a solución mía.

El otro sudoku es la respuesta de Paul Mutton, al mismo de Sodbury. (solución de M4 Su Doku). Vi que era diferente a la mía y me puse a buscar coincidencias. En total comparten 46 números (de 81): los 26 iniciales -verdes-, los 7 prácticamente dados -sin colorear en las figuras-, y 13 en los que coincidimos al resolver nuestros respectivos tableros -celdas color rojo, sin números-. Los 35 números faltantes ocupan posiciones diferentes. (En ambos sudokus uno de los números "amarillos" está en celda de coincidencia).Ya entrada en gastos, como se dice, repetí el ejercicio de averiguar el mínimo de números adicionales necesarios para llegar a la solución obtenida por Paul Mutton y también los pinté de amarillo, en este caso son cinco. 

                                                       

Sudoku Sodbury para llegar a solución de Paul Mutton, "M4Sudoku"

En esta segunda parte, de mis andanzas por las colinas de Sodbury, no sé qué me mantuvo hasta el final. Si me hubiera encontrado antes la otra solución, probablemente no lo hubiera intentado porque -si consultan su liga- verán que él explica, paso a paso, cómo lo resuelve.  (Igual que yo... jajaja).

Tutoriales de Capitán Sodoku y Simple Sudoku

Dicen que más pronto cae un hablador que un cojo, y que el pez por su boca muere... Yo sigo prefiriendo mis sudokus en papel, sí. Buscaba en publicaciones en línea y los copiaba a mano. Y me sentía feliz. Sólo que ahora tengo instalado en mi computadora el programa recomendado por Capitán Sudoku, y todas las mañanas lo primero que hago es resolver uno, para mantenerme en forma... jajaja

Yo ni siquiera sabía que existieran este tipo de aplicaciones. Además, rechazaba totalmente jugar en la computadora. Hice dos, tres intentos y me veía muy lenta para avanzar y totalmente imposibilitada para anotar candidatos; incluso en una ocasión que quise saber mi tiempo, el juego me calificó con resultado menor al 75% del promedio normal. La gráfica se veía muy desmoralizante... ¡Para nada motivada a seguir con esos sistemas!

Pero, buscando en la red una forma de mejorar mis resultados, primero dí con blogs -algunos muy completos-, que explican detalladamente diversas estrategias, y/o procedimientos para trabajar con los sudokus. Me apena decirlo, pero no les entendí. Cuando hablan de pares -o tríos-, ocultos, pero en tres o cuatro celdas, me quedo confundida. Igual me pasa cuando leo y releo las instrucciones para usar una estrategia: XY-Wing, por ejemplo. No doy pie con bola, como se dice. 

Una mañana me levanté con algo así como una revelación. ¿Habrá videos explicando el juego? Por increíble que parezca, -en este campo de la informática y las redes sociales para mí todo es increíble-, No se me había ocurrido esa posibilidad. No imagino la motivación de tantas personas como encontré en youtube, que subieron sus consejos y soluciones -en español, y en cualquier otro idioma-, que se tomaron el tiempo de ordenar su material, y con generosidad la grabaron y subieron. 

Pues sí, hay muchísimos. Y ví muchos videos. Pero me detuve en Capitán Sodoku. Su material parecía hecho para mí. Necesité repasar cada lección varias veces, tomar apuntes y a mi vez, ir resolviendo sus técnicas (con la explicación, clara, completa, lógica y bien ordenada que a golpe de vista me convencía, todavía me quedaban algunas cosas oscuras). 

En su página, Capitán Sodoku tiene 27 lecciones diferentes. Y todas son excelentes tutoriales. Las divide en 5 partes o niveles: básico, iniciados, medio, avanzado y alto. A medida que yo dominaba una, me sentía con confianza para practicarla en la resolución de mis sudokus diarios (que ahora son más).

En esta Lección 15 Capitán Sudoku puedes seguir paso a paso cómo descargar e instalar el programa, con sus observaciones para cambiar color y forma de usarlo. ¡Yo no lo hubiera descubierto sola! Por eso digo -como Salma Hayek, ¿recuerdan?- que el sudoku sirve para aprender a usar la computadora. De todas formas él tiene en su video una liga al programa Simple Sudoku de Angus Johnson, quien da autorización para usarla mientras no sea con motivos de lucro. Otra sorprendente persona, a quién también le tengo que reconocer y agradecer por compartir en la red sus conocimientos para que podamos disfrutar de un pasatiempo que ellos valoran mucho. ¿O si no, por qué lo hacen?

Lo primero que comprendí, al familiarizarme con Simple Sudoku, es que hay dos formas de jugar Sudoku. Poner números y eliminar candidatos. En el primer caso, que es el que yo uso en papel, también se anotan candidatos pero, se busca principalmente el número correcto. La segunda opción busca eliminar candidatos innecesarios; la mayoría de estas estrategias son las que se usan cuando el sudoku es muy complicado y consisten en quitar la mayor cantidad de candidatos posibles en cada celda para que nos quede uno solo, el que debe ir. Pero apoyándote en algunas figuras lógicas que se forman respetando las reglas del juego. Capitán Sudoku, además de mostrarte cada una, te demuestra por qué sí funciona, por qué puedes usarla con la seguridad de que si la aplicas podrás desanudar el juego y terminarlo más pronto y sin equivocarte.

En este sentido, Simple Sudoku es una herramienta muy bien diseñada, muy práctica, la disfruto mucho pues, cuando ya no encuentro por dónde seguir, pido una pista y -como te puedes regresar o reiniciar, si prefieres- aprendo un poquito más, pues las pistas son las estrategias mencionadas en los tutoriales.

Sudoku, ¿Cuadrado mágico o latino?

Siempre que se habla del Sudoku, dicen los que saben -y saben mucho- que se trata de un cuadrado latino; e inmediatamente te refieren a los cuadrados mágicos. Y a la tortuga que salió del río hace como cinco mil años, con un cuadrado mágico -cifrado, no creas que con números-, en el caparazón. 

Y aquí empieza lo sorprendente. La inquietud del ser humano por los números. Por descifrarlos, combinarlos, separarlos, ordenarlos; jugar con ellos, intentar dominarlos, usarlos. 

Todas las grandes culturas de la humanidad tuvieron en su tiempo cuadrados mágicos. Y a partir de allí, parece que todos los matemáticos, y no sólo ellos, tuvieron interés por este tipo de reto. Aunque no todo se puede encontrar documentado, hay suficientes evidencias que nos indican que también ha sido importante, al crear estos cuadrados, hacerlo con números consecutivos, con números cuadrados, acomodarlos según cierto orden, restricción (que no se repitan) o condición (que sumen alguna cantidad), etc. Además de determinar la cantidad posible de combinaciones según su orden: 3, 4, 6, 9 (ésta es la del Sudoku), y la necesidad de demostrar lo acertado de esos cálculos.

Sin entrar en muchos detalles, veamos algunos casos:
El primer cuadrado mágico: hacia 2,800 a.C., aparece en China la leyenda de Lo Shu. Una especie de cuadrícula cuadrada de 3x3 formada por las placas del caparazón en las que la suma de cada línea (vertical, horizontal o diagonal), da el número 15. (El dios del río inundó la región hasta que interpretaron los signos y le hicieron "quince" ofrendas). 

8 1 6

3 5 7

4 9 2

Este caso aparentemente fue enviado por los dioses, como el fuego a los griegos, por lo que no ha de tener mucho mérito su creación.

Ahora veamos el de Alberto Durero, de 4x4. Está dentro de uno de los grabados en cobre de este extraordinario artista del renacimiento: Melancolía I  (Actualmente en la Galería Nacional de Arte en Washington, Colección Rosenwald). 

16     3      2   13

  5   10     11    8

  9     6      7   12

  4   15    14     1

En este cuadrado mágico, Durero logra que la suma sea 34 tanto en filas, columnas y diagonales principales; pero también sumando las cuatro esquinas, o los cuatro números del centro del cuadrado, o, -descontando las esquinas-, las laterales opuestas que rodean al cuadrado del centro.  La fecha en que realizó esta obra, también está dentro del cuadrado: 1514 d.C. Algo que no se percibe tan fácilmente es la relación del número 136 (la suma de todos los números dentro del cuadrado), con el nombre del Autor, y el nombre de la obra. Al sustituir las letras de los nombres por los números que corresponderían en el alfabeto latino -el nombre de él- y en el alfabeto alemán -el nombre de la obra-, cada uno suma 136. Melancolía I

Imposible nombrar a todos los que han realizado aportaciones, como Simón de la Loubere que publica un método para construir cuadrados mágicos en 1690 o como Bernard Frenicle de Bessy que, tres años después, enumera todos los 880 cuadrados mágicos de 4x4 posibles. O como a Benjamín Franklin quien tenía como pasatiempo elaborar cuadrados mágicos bastante enigmáticos en cuanto a su dificultad para crearlos.
Voy a concluir mencionando dos ejemplos donde estos cuadrados no usan números. En ambos casos, al ser una combinación de dos cuadrados latinos, podrían también llamarse grecolatinos. Y por la forma de corresponderse uno a uno, ortogonales.

El primero.- En 1725, el matemático francés Jacques Ozanam, propone un rompecabezas con cartas de la baraja: 

"Colocar los reyes, reinas, jotas y ases de una baraja, formando un cuadrado de 4x4 tal, que cada fila y cada columna contengan una vez y solo una vez, cada una de las figuras y cada uno de los palos." Como se puede apreciar es una combinación de dos cuadrados mágicos (un par) de orden 4. Existen un total de 1152 soluciones a este problema, aunque todos se pueden reducir a dos soluciones básicas.  solución a y solución b .

El segundo.- Un problema parecido, que si tuviera solución sería par de cuadrado latino ortogonal de orden 6, lo planteó uno de los más grandes matemáticos que han existido: Leonhard Euler. Él transformó el cuadrado mágico en cuadrado latino y cuadrado grecolatino, pues usó como símbolos para estudiar los cuadrados las letras del abecedario latino, en uno y en el otro combinó alfabeto griego y latino. Dejó más de 800 tratados sobre las diversas áreas que estudió: Matemáticas, Astronomía, Física, Lógica, Arquitectura e Ingeniería entre otras. El siguiente es el primer párrafo del texto "Investigaciones sobre un nuevo tipo de cuadrados mágicos", que Euler envió a la Academia de San Petersburgo en 1779, y es conocido como "El problema de los treinta y seis oficiales de Euler".

"Una cuestión muy curiosa que ha desafiado la inteligencia de muchas personas, me inspiró para emprender la siguiente investigación que al parecer ha abierto una nueva trayectoria dentro del Análisis y, en particular,  en Combinatoria. Esta cuestión concierne a un grupo de treinta y seis oficiales de seis rangos diferentes, tomados de seis regimientos distintos, y distribuidos en un cuadrado de tal forma que en cada fila y cada columna haya seis oficiales, cada uno de diferente rango y regimiento. Pero después de dedicar muchos esfuerzos a resolver este problema, tenemos que reconocer que tal disposición es absolutamente imposible, aunque no podemos ofrecer una prueba rigurosa."

Esta certeza de "absolutamente imposible" aunque sin poder demostrar la imposibilidad, llevó a Euler a aventurar la conjetura de que no había ningún par de cuadrados latinos ortogonales de orden 6, 10, 14 18, 22... Poco más de cien años después, Gaston Tarry verifica la conjetura de Euler en el primer caso, el de orden 6. Y dan por hecho que los demás casos son también imposibles. En 1960, tres matemáticos, trabajando conjuntamente, demostrarían que sí había pares de cuadrados latinos ortogonales, el único caso en el que no existen es en el de orden 6. 

Euler tenía razón, pero no tenía computadora... cuadrados latinos

Sudoku tutorial interactivo y campeones

• Antes que nada, la liga del Sudoku tutorial. El tutorial es claro, clarísimo, explica las reglas del juego. Y muy atractivo. http://www.nikoli.co.jp/en/puzzles/sudoku.html 

Está en la página de Nikoli, la empresa de pasatiempos japonesa, pionera en este campo desde 1960. Fue Maki Kaji, su presidente, quien le dio el nombre definitivo al Sudoku en 1984. Antes de esa fecha -1979- se conocía en Estados Unidos como "Number Place". Tras algunas modificaciones y peripecias, el Sudoku llegará a Gran Bretaña, en manos del juez neozelandés Wayne Gould quien, tras escribir un programa para generar Sudokus al azar (antes de 1989 se creaban a mano), logró que se publicara en el diario británico The Times en 2004. De allí, el Sudoku saltó a la fama. 

• Ésta es una liga para ver un video: "Inside the Mind of a Sudoku Master". http://content.time.com/time/video/player/0,32068,50173925001_1939607,00.html

Son 6 minutos de entrevista a Thomas Snyder durante un Campeonato Nacional de Sudoku, en Filadelfia, Pensilvania, realizado por la revista Time. Dos cosas llaman la atención, la rapidez con que Thomas soluciona el Sudoku en el pizarrón, ante todos los participantes y público, y la enorme participación donde hay un niño de 11 años y personas mucho mayores que yo.

• Algo sobre campeones y campeonatos mundiales de Sudoku. 

Ha habido once campeonatos mundiales de Sudoku. El primero fue en Italia, en 2006 y el último, que se realizó en octubre de este año, fue en Eslovaquia.

Ninguno ha sido en México; tampoco hemos tenido campeones y en la lista de participantes de la página oficial del Campeonato Mundial de Sudoku de este año, no aparece ningún mexicano.

Hay una categoría especial para menores de 18 años, (ganada por jóvenes de China), otra para mayores de 50 años (¿se perderá alguna capacidad con la edad?) y la convencional. Se puede participar individualmente o por equipo. 

Tres jugadores han ganado el oro varias veces: el norteamericano Thomas Snyder (el del video) y el polaco Jan Mrozowski en tres ocasiones; y dos veces el japonés Kota Morinishi.  

Tiit Vunk, de Estonia, es el actual campeón mundial de Sudoku. Mientras que Jana Tylova, checa y Jin Ce, china, tienen los otros dos títulos.  (Uno cada una, por supuesto.)

Quien ha obtenido más premios en estos once torneos, plata y bronce, es el checo Jakub Ondrousek: tiene seis.

• Thomas Snyder: World Sudoku Championships (2007, 2008, 2011)        http://www.gmpuzzles.com/blog/

En 2008, cuando gana su primer campeonato mundial, Snyder tenía 27 años, era licenciado en Química por Harvard y estudiaba su posdoctorado en Bioingeniería en la Universidad de Stanford, California, realizaba investigaciones en síntesis y secuenciación de ADN.  En su página de internet: The Art of Puzzles, tiene publicaciones desde diciembre de 2012 a la fecha. La página está en inglés, por lo cual no me detuve mucho en revisarla, pero ofrece bastante material; está organizada por autor, dificultad y categorías.

Y ahora una última mención: Sun Cheran, joven china, estudiante de la "Affiliated High School of Peking University". Desde el 2013, cuando tenía 13 años de edad, ha participado en los campeonatos mundiales de Sudoku, quedando siempre entre los 3 primeros lugares. (4 veces). En 2015 obtuvo el primer lugar. En 2014 participó en dos episodios del programa "The Brain", reality show original de Alemania, pero producido en China. (En España llevaría el nombre de "Increíbles, el gran desafío".)

Sudoku: Adicción, pasatiempo ¿o qué?

Mucho tiempo mantuve el sudoku a distancia. Antes no me inspiraba confianza, ni entusiasmo. Anotar los numeritos sin certezas, siguiendo pistas, dudando hasta el final, y sospechando -como si fuera algo muy, muy terrible- que hubiese soluciones múltiples y no sólo una... 

Tampoco ayudaba desconocer las estrategias y lo que implicaban. "Pensar con lógica -me decía- ¿silogismos, premisas, inferencias? ¿cosas así? ¡Qué miedo!"

Pero cuando tuve el libro de Carol Vorderman, vi que en el sudoku todo se reducía a ver -nada más ver- y anotar los números: "Si éste sí, entonces éste no. Si éste no, entonces éste podría ser". E ir buscando los "éste sí" para reducir las probabilidades de “no” de los números faltantes, hasta que tienes todas las casillas llenas. 

Entonces sí, le entré al pasatiempo. Sin prisas, ni ansiedades; en ratos muertos, como se acostumbra. Vi, con sorpresa, que funcionaba; que el sudoku se desenredaba con cada número anotado en su casilla. Ésa fue mi primera asociación al jugar: la de un hilo hecho nudos, que hay que desenredar para continuar la costura. Nada de metáforas científicas, matemáticas, algoritmos, ni nada de eso. El problema para mí siempre ha consistido en "un nudo" que hay que deshacer sin romper el hilo, con cuidado, con paciencia. 

Hay otro aspecto del sudoku que asocio con mi niñez. En este caso es gráfico. No había problema de nudos o hilazas; sino libertad, curiosidad, y un objetivo definido. Además de varias hojas de cuadrícula y una caja de crayones (la forma más pura de felicidad...)
Empecé por combinar colores, luego hice series alternándolos y finalmente discurrí pintar los cuadritos con colores diferentes y sin repetir, para hacer un tapiz. Recuerdo mi entusiasmo: Ponía un color al centro y lo rodeaba de otros ocho diferentes; después, cada uno de esos ocho colores debía a su vez estar rodeado de ocho colores diferentes... ¿intuía un sudoku de colores? No logré mi propósito: me acabé las hojas y me faltaron colores.
Cuando resuelvo un sudoku ambas imágenes están presentes, el nudo que va cediendo poco a poco y la retícula coloreada, con la sensación de logro en común.

Ahora regreso al libro de Carol y a otro momento de mi vida.
Al principio, más que solucionar un sudoku, lo que yo pretendía era ver cómo mi cerebro se las arreglaba para resolverlos. ¡Vaya chasco! Descubrí que “no pensaba”. Sólo seguía las pistas que se desencadenaban, una tras otra, cada vez que acomodaba un número. Fila, columna, región. Divertido, sí, pero ¿y lo de la lógica? Me salté páginas para resolver los sudokus superdifíciles: lo mismo. Decepcionada, dejé de jugar sudoku. El libro quedó por allí, medio olvidado, más bien perdido. Algo no estaba funcionando, pero no imaginaba qué.

Un buen día, dos o tres años después, tuve que frecuentar hospitales más seguido de lo que deseaba. Los tiempos de espera para ser atendida y el deseo de distraer mi mente de los pronósticos que me aguardaban, me recordaron mi libro abandonado. Así, volví al Sudoku.

Encontré que la concentración necesaria para resolverlos le daba respiro a mi angustia. Las radiaciones eran menos importantes que acabar el juego antes de recibirlas. Tuve que comprar más sudokus, y entrar a internet y bajar aplicaciones. Sí -lo confieso-, también resuelvo sudokus on line.

Y aunque todos los sudokus se parecen, descubrí que había algunos que no eran simétricos, que ofrecían mayor dificultad, que me generaban reflexiones divertidas… Empecé a sentir que el tapiz de colores incompleto era la clave y me dejé llevar -aún sin saber qué busco y sintiendo que a cada paso algo se me escapa-. Porque eso es lo que quiero, descifrarlo; no ser master sudoku en competencias mundiales. 

Sudoku ¿Para qué sirve?

Si no está en internet, no existe. Parece ser la creencia de nuestro tiempo.

Pero el Sudoku sí está. O sea, el Sudoku es REAL. Podemos comprobar su presencia en la red casi desde que se popularizó internacionalmente.  

¿Para qué sirve? Algunos datos obtenidos en línea sugieren que:

1. Ayudar a conducir el autobús escolar; además de peligroso, no es bien visto por los papás de los niños y es sancionado. (Ferndown, RU. 2011).
2. Anular juicios por tráfico de drogas -y matar el aburrimiento-, si los jurados resuelven el sudoku mientras los testigos declaran. Costoso para el sistema penal, pero sin sanción para el jugador. (Sydney, Australia, 2008). 
3. Adelgazar. Así de simple. Es mejor resolver un sudoku que no hacer nada pues, al concentrarse en el juego,  el cerebro requiere de más energía y consume 1,5 calorías por minuto en vez de 1 caloría. O lo que es lo mismo: ¡30 calorías extra por hora! (Bjorn Carey, 2011). * Por otra parte Barry Komisaruk y Beverly Whipple -en 2013-, desaconsejan el sudoku si (en lugar de secciones muy limitadas), lo que se quiere es activar el conjunto cerebral. Para ello, concluyen, es más sano mantener relaciones sexuales que resolver sudokus. No podemos comparar ambos estudios, pues uno quiere quemar calorías y el otro activar el cerebro... 
4. Hacer contraseñas ultra-súper-seguras para tus plataformas on-line, que ni tienes que memorizar aunque el sudoku completo cambia cada minuto, pues la clave sigue la línea o el dibujo que, imaginariamente, se trazó sobre el tablero una sola vez. (Sistema PINgrid de Winfrasoft; 2014).
5. Promocionar primer show de Sudoku por televisión, b) generar interés turístico -más de un millón de turistas-, c) poner señalamientos para reducir la velocidad en carretera, d) entrar al Récord Guiness con el Sudoku más grande en la colina de Sodbury... Todo en Inglaterra en 2005.
6. Escribir carta de protesta, y/u obtener suscripción gratis de periódico. Cuando un grupo de personas -86-, sospechan que intencionalmente fue generado sin solución posible. (Prisión de Exeter, 2015). 
7. Generar competencia entre periódicos, de preferencia ingleses. (Times y Daily Telegraph, 2005). 
8. Descubrir lesiones en el cerebro en área específica. ¡Sorprendente! El daño que sufrió el esquiador en un accidente sólo le provocaba trastornos físicos cuando jugaba sudoku... La parte centro-parietal del lado derecho del cerebro -lesionada- es la que activa la imaginación visual espacial que se necesita para resolver un sudoku. (El País, 2015)
9. Entretener a los robots y, de paso, demostrar que aunque lo solucionen en segundos, en escribirlo se tardan muchísimo más que un humano, jajaja. Al menos el Robot Lego Mindstorms de Hans Andersson, en el 2009.
10. Esculpirlo en piedra, para la posteridad. Con riesgo de que al poco tiempo algún consejo municipal decida retirar del cementerio la lápida de la tumba porque tiene un sudoku. (Allan Robinson, 1946-2012; Farnond, Reino Unido).
11. Usarlo como leit-motiv para escribir historias. (La lucidez del espejo: El Sudoku, 2010; Los otros seres: El ángel sudoku, 2012; Historias de una vida: Un sudoku endiablado, 2014).
12. Aprender computación y abrir las puertas al uso de redes sociales. Totalmente de acuerdo con Salma Hayek quien, desde el 2010, se involucró mas en el manejo de las computadoras para poder jugar más y mejor el sudoku. 

Y aquí no se acaban las menciones del sudoku en internet. Hay muchísimas otras que lo asocian con la investigación científica, con la educación, las matemáticas, el desarrollo de algoritmos y la tecnología. Además de las que se refieren a su uso generalizado como pasatiempo lógico y que permiten conocerlo, aprenderlo, solucionarlo, manejar estrategias y crearlo; ya sea remitiendo a libros, aplicaciones, videos, blogs, competencias, etc.

Creo que todo lo anterior es una mínima parte de lo que el sudoku ha ido provocando en quienes se interesan por este juego.

Sudoku ¿Amor a primera vista?

¿Qué cómo llegué a aficionarme al Su Doku y por qué?
No es que sean muy importantes las respuestas pero a veces, en el inicio, puede estar la clave...
Descubrí este juego en un periódico viejo, mientras lo usaba como recogedor, una tarde que barría el patio. Alcancé a rescatar la página con la foto de Clint Eastwood -el de Los puentes de Madison- sonriendo, yo también sonreí con algo de nostalgia; atrás venía un sudoku y la solución del publicado el día anterior. 

El nombre sugería algo japonés. La cuadrícula con números y celdas vacías, me parecía tan amenazante como la leyenda juego de lógica que la acompañaba.
-Juegos importados... ¡Malinchistas! -argumenté disgustada recordando puzzles y crosswords en otras publicaciones. Creo que también pensé algo como ¿no pudieron poner un juego azteca o maya? Ahora se me ocurre que los ancestros mayas, aunque yo no lo pueda demostrar, definitivamente conocieron el Su Doku -con otro nombre, claro- pues fueron grandes matemáticos y astrónomos.
No sé por qué conservé ese sudoku si nunca traté de solucionarlo. Ni siquiera me atrevía a leer las reglas por miedo a no entenderlas... Esa palabreja "lógica" me hace retroceder de entrada. ¿De dónde había salido este juego? ¿Por qué no me había enterado que existía? 

Con el propósito -no muy firme- de algún día resolverlos, empecé a recortar los sudokus que salían publicados los domingos -único día que comprábamos el periódico-. No me preocupaba no tener las soluciones, no sé por qué creía que, tratándose de números, podría haber varias respuestas... como "dos más dos diferente de cinco" o algo así. Para cuando me di cuenta ya tenía un montón de sudokus empolvándose sobre un banquito de la cocina. Dejé de coleccionarlos.
Puede parecer tonto, pero a veces hago cosas como ésa, sin mayor intención. Después se me pasa la euforia, o el amor, o lo que haya sido. El sudoku iba en camino de alcanzar esa misma suerte; yo había empezado a olvidarlo y con él -suponía yo- mis temores y obsesiones.
Pero como se acostumbra decir: "Cuando no te toca, aunque te pongas; cuando te toca, ni aunque te quites"... El Su Doku buscó otra forma de acercarse a mi vida, y lo hizo de tal manera que no pude resistirme.
Para mi sorpresa, sin motivo aparente me regalaron el "Sudoku" de Carol Vordman. Mi cariñosa familia se había dado cuenta de mi oculto interés y lo habían interpretado de manera lógica... Si no fuera por ese primer obsequio, al que seguirían otros más de su parte, yo no hubiera empezado a resolver sudokus, creo.
"Paso a paso, te enseñaré cómo llegar a ser un maestro del sudoku", promete la autora en la portada de su libro. Lo que no puedo negar es que allí comenzó mi historia con el Sudoku.
¿Amor a primera vista?  Yo no diría eso. Pero, definitivamente, sí fue una cuestión de amor.